Matematyka (LO/5/07/08)

Treści

Komentarze

LICZBY  RZECZYWISTE

Zbiory  liczbowe

Liczby:  naturalne,  całkowite,  wymierne,  niewymierne.

Liczby  pierwsze  i  złożone.  Przedziały  liczbowe.

Działania  na  liczbach

Działania  na  liczbach  wymiernych,  potęga  o  wykładniku  wymiernym,  działania  na  potęgach  i  pierwiastkach.  Wartość  bezwzględna  liczby.

Obliczenia  praktyczne

Szacowanie  i  przybliżenia,  błąd  przybliżenia,  działania  na  procentach,  notacja  wykładnicza.

ALGEBRA

Powtórzenie

Wyrażenia  algebraiczne,  równania  i  nierówności  liniowe, układy  równań  liniowych;  ich  zastosowanie;  wartość  bez- względna  w  równaniach  i  nierównościach;  przekształca- nie  wzorów.

Równania   i   nierówności

kwadratowe

Rozwiązywanie  równań  i  nierówności  kwadratowych,  zastosowanie  ich  do  rozwiązywania  zadań. Zadania  z  parametrem,  wykorzystanie  wzorów  Viete’a.

FUNKCJE

Własności  funkcji

Pojęcie  funkcji,  przykłady,  odczytywanie  własności  z  wykresu, parzystość,  nieparzystość,  okresowość,  różnowartościowość  funkcji. Zastosowanie  funkcji  do  opisu  różnorodnych  zależności. Przesuwanie  wykresu  funkcji.

Funkcja  liniowa

Wykres  i  własności.  Wyznaczanie  wzoru.

Funkcja  kwadratowa

Różne  postaci  funkcji kwadratowej,  rysowanie  wykresów,  znajdowanie  współrzędnych  wierzchołka   i  miejsc  zerowych.  Wykorzystanie  do  rozwiązywania  prostych  zadań  na  ekstrema

PLANIMETRIA  I  TRYGONOMETRIA

Podstawowe figury   geometryczne

Punkty,  proste,  odcinki,  kąty,  trójkąty,  wielokąty,  wielokąty  foremne,  okręgi,  kąty  w  kole,  pola  i  obwody  figur.

Okręgi  i  proste

Funkcje  trygonometryczne  kąta  ostrego

Funkcje trygonometryczne kąta  ostrego.  Zastosowanie do sytuacji  praktycznych,  wartości  funkcji  dla  szczególnych  kątów,  wykorzystanie  kalkulatora  do  obliczeń.  Tożsamości  trygonometryczne.

WIELOMIANY

Działania  na  wielomianach

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów. Dzielenie  wielomianów  z  resztą.

Twierdzenie  Bezouta i  jego  zastosowania

Twierdzenie  Bezouta.  Znajdowanie  pierwiastków  wielomianów

CIĄGI

Pojęcie  ciągu

Pojęcie  i  przykłady  ciągów.

Ciąg  arytmetyczny  i  geometryczny

Definicja,  wzory,  zastosowania.  Procent  składany.

FUNKCJA  WYKŁADNICZA  I  LOGARYTMY

Funkcja  wykładnicza

Wykresy, własności, zastosowania. Równania  wykładnicze.

Logarytmy

Pojęcie i własności logarytmów. Równania  logarytmiczne. Wykresy  i  własności  funkcji  logarytmicznych

PLANIMETRIA  I TRYGONOMETRIA

Planimetria

Wielokąt  (w  szczególności  czworokąt)  wpisany  w  okrąg  i  opisany  na  okręgu. Twierdzenie  Talesa,  figury  podobne, jednokładność

Przekształcenia  geometryczne

Przesunięcie.  Wektory. Równanie  prostej. Proste  i  okręgi.  Figury  w  układzie  współrzędnych.

Funkcje  trygonometryczne  dowolnego  kąta

Miara   łukowa   kąta.   Funkcje   trygonometryczne   dowolnego  kąta,  ich  wykresy  i  własności.  Zastosowania  funkcji trygonometrycznych. Wzory  redukcyjne.  Proste  równania  trygonometryczne. Przekształcanie  wykresów  funkcji.

Zastosowania  trygonometrii

Twierdzenie  sinusów,  twierdzenie  cosinusów  i  ich  zastosowania.

STATYSTYKA  OPISOWA

Czytanie  informacji

Tabele,  różnego  rodzaju  diagramy.

Średnie  i  parametry  rozrzutu

Średnia  arytmetyczna,  mediana,  moda,  wariancja,  odchylenie  standardowe.  Metody  obliczania  i  interpretacja.

Zbieranie  i  opracowywanie  danych

Samodzielne  prowadzenie  prostych  ankiet  i  porządkowanie  ich  wyników.

POWTÓRZENIE

Działania  na  liczbach

Działania na liczbach rzeczywistych (w szczególności własności potęg, pierwiastków i logarytmów). Obliczenia procentowe  (w  tym  procent  składany).

Ciągi

Własności  i  zastosowania  ciągu  arytmetycznego  i  geometrycznego.

Funkcje

Pojęcie   funkcji,   funkcja   liniowa,   funkcja   kwadratowa, wielomiany.

KOMBINATORYKA  I  PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Prawdopodobieństwo

Pojęcie prawdopodobieństwa  i jego obliczania, przykłady; metoda  drzewek;  własności  prawdopodobieństwa.

Kombinatoryka

Zasada  mnożenia. Permutacje,  wariacje,  kombinacje. Zastosowania  kombinatoryki.

FUNKCJE  WYMIERNE

Wyrażenia  wymierne

Pojęcie  wyrażenia  wymiernego.  Działania  na  wyrażeniach  wymiernych,  wyznaczanie  dziedziny.

Funkcja  homograficzna

Pojęcie, wykres, własności. Równania i nierówności z funkcją  homograficzną.

STEREOMETRIA

Wielościany

Graniastosłupy   i   ostrosłupy,   własności   miarowe.   Wzajemne  położenie  krawędzi  i  ścian  brył.  Przekroje  płaskie.  Wielościany  foremne.  Zastosowanie  trygonometrii.  Objętości  i  pola  powierzchni.

Bryły  obrotowe

Stożek,  kula  i  walec.  Zastosowanie  trygonometrii.  Objętości  i  pola  powierzchni.

WYMAGANIA

KLASA

I

II

III

LICZBY RZECZYWISTE

Uczeń:

—  podaje   przykłady   liczb:   naturalnych,   całkowitych,   wymiernych,   niewymiernych;   pierwszych   i   złożonych,   potrafi   zakwalifikować  daną  liczbę  do  jednego  z  tych  rodzajów

K

—  zna  pojęcie  osi  liczbowej

K

—  zamienia  skończone  rozwinięcie  dziesiętne  na  ułamek  zwykły  i  na  odwrót

K

—  rozumie  pojęcie  rozwinięcia  okresowego,  znajduje  rozwinięcia  dziesiętne  ułamków  zwykłych

P/R

—  wie,  że  suma,  różnica,  iloczyn  i  iloraz  liczb  wymiernych  są  liczbami  wymiernymi

P

—  umie   pokazać   na   przykładach,   że   suma   (różnica,   iloczyn  i  iloraz)  liczb  niewymiernych  może  być  zarówno  liczbą  wymierną,  jak  i  niewymierną

D

—  wykonuje działania  na liczbach wymiernych: cztery  działania  arytmetyczne, potęgi o wykładniku całkowitym i postaci 1/n;  także  z  użyciem  kalkulatora

K

—  znajduje  wartość  bezwzględną  liczby

P

—  upraszcza  pierwiastki  i  znajduje  ich  przybliżone  wartości  za  pomocą  kalkulatora

K

—  upraszcza   wyrażenia   zawierające   potęgi   o  wykładniku  wymiernym  i  pierwiastki

P/R

—  usuwa  niewymierności  z  mianownika

P/R

—  zapisuje  i  odczytuje  liczby  w  notacji  wykładniczej

P

—  posługuje  się  notacją  wykładniczą  w  obliczeniach

R/D

—  oblicza  procent  danej  liczby

K

—  zna  pojęcie  punktu  procentowego

K

—  zwiększa i zmniejsza liczbę o dany procent, porównuje liczby, używając  procentów

P

—  rozwiązuje  zadania  z  procentami  dotyczące  m.in.  płac,  cen,  podatków,  lokat  i  kredytów,  także  z  użyciem  równań  i  układów  równań  liniowych

R/D

—  zaokrągla  liczby  z  podaną  dokładnością

K

—  szacuje  wyniki  działań  i  wielkości  ze  świata  rzeczywistego

P/R

—  wykorzystuje  umiejętność  szacowania  w  bardziej  złożonych  sytuacjach,  oblicza  błąd  względny

D

—  oblicza  wartość  logarytmu:

•  w  najprostszych  wypadkach  (np. log 24)

K

•  dziesiętnego  lub  naturalnego  za  pomocą  kalkulatora

P

• dowolnego  za  pomocą  kalkulatora  (ze  wzoru  na  zamianę  podstawy  logarytmu)

R

— zna  twierdzenie  o  rozkładzie  liczby  naturalnej  na  czynniki pierwsze

R

— zna  twierdzenie  o  niewymierności  pierwiastka  kwadratowego z  liczby  2

K

RÓWNANIA  I  NIERÓWNOŚCI

Uczeń:

—  oblicza  wartość  liczbową  wyrażenia  algebraicznego

K

—  przekształca  sumy  i  różnice  wielomianów

K

—  zna  wzory  skróconego  mnożenia

K

—  rozwiązuje  równania  i  nierówności  liniowe  oraz  układy  równań  liniowych  i  zadania  z  treścią  prowadzące  do  takich  równań,  nierówności  i  układów

K/P

—  rozwiązuje  równania  niepełne  kwadratowe

K

—  rozwiązuje  zadania  prowadzące  do  równań  niepełnych  kwadratowych

P

—  rozwiązuje  równania  kwadratowe

P

—  rozwiązuje  zadania  prowadzące  do  równań  kwadratowych

R

—  rozwiązuje  nierówności  kwadratowe

P

—  rozwiązuje   zadania   prowadzące   do   nierówności   kwadratowych

D

— sprawdza  w  prostych  wypadkach  zależność  liczby  rozwiązań równania  kwadratowego  z  parametrem

K

— rozwiązuje  równania  kwadratowe  z  parametrem

P

— rozwiązuje  nierówności  kwadratowe  z  parametrem

R/D

— oblicza  sumę  i  iloczyn  pierwiastków  równania  kwadratowego

K

— rozwiązuje  zadania  z  parametrem  z  zastosowaniem  wzorów Viete’a

P/R

— zna  dowód  wzorów  Viete’a

D

— rozwiązuje  proste  równania  i  nierówności  z  wartością  bezwzględną

R

—  rozpoznaje  wielomiany,  dodaje  je,  odejmuje  i  mnoży  przez  liczbę

K

— mnoży  wielomian  przez  dwumian

P

—  mnoży  wielomiany

R

— dzieli  wielomian  przez  dwumian

P

— dzieli  wielomiany

R

—  znajduje  pierwiastki   wielomianu  zapisanego   w   postaci   iloczynu  czynników  liniowych  i  kwadratowych

P

—  rozwiązuje  proste  równania  wielomianowe

P

— stosuje  twierdzenie  Bezouta  do  znajdowania  pierwiastków wielomianu

R/D

— rozwiązuje  proste  nierówności  wielomianowe

P-R

— stosuje  twierdzenie  o  postaci  wymiernych  pierwiastków  wielomianu  o  współczynnikach  całkowitych

P

—  dodaje  i  odejmuje  wyrażenia  wymierne:

•  o  jednakowych  mianownikach

K

•  o  różnych  mianownikach

P

—  wyznacza  dziedzinę  wyrażenia  wymiernego

R

—  mnoży  i  dzieli  wyrażenia  wymierne

D

— wyznacza  dziedzinę  funkcji  wymiernej

K

—  rozwiązuje  równania  wymierne

P

— rozwiązuje  proste  nierówności  wymierne

R

—  korzysta  ze  wzorów  na  logarytm  iloczynu,  ilorazu  i  potęgi

K

— korzysta  ze  wzoru  na  zamianę  podstawy

P

— upraszcza  wyrażenia  algebraiczne  zawierające  logarytmy

R

FUNKCJE

Uwaga.  Funkcje  trygonometryczne  oraz  ciągi  zostały  ujęte  w  osobnych  działach.

—  odczytuje  z  wykresu  wartości  funkcji,  argumenty,  dla  których  funkcja przyjmuje  daną  wartość,  miejsca  zerowe  i  przedziały,   dla   których   funkcja   przyjmuje   wartości   dodatnie  i  ujemne

K

—  odczytuje  z  wykresu  dziedzinę,  zbiór  wartości,  wartość  najmniejszą  i  największą,  przedziały  monotoniczności

P/R

—  podaje  przykłady  funkcji

P

—  posługuje  się  różnymi  sposobami  opisu  funkcji

R/D

—  znając   własności   zależności   między   wielkościami,   szkicuje  wykres  funkcji  opisującej  tę  zależność

D

— rozpoznaje  funkcje  parzyste,  nieparzyste  i  okresowe  na  podstawie  wykresów

K

— uzupełnia  wykres  funkcji  wiedząc,  że  jest  ona  parzysta,  nieparzysta  lub  okresowa

P

— rozpoznaje  funkcje  parzyste,  nieparzyste,  różnowartościowe na  podstawie  wzoru

R

— potrafi  ograniczyć  dziedzinę  tak,  aby  funkcja  była  różnowartościowa

R

— dowodzi  prostych  własności  (np.  suma  funkcji  parzystych  jest parzysta),  dowodzi  różnowartościowości  funkcji  na  podstawie wzoru,  rozwiązuje  proste  równania  i  nierówności,  korzystając z  własności  funkcji

D

—  rysuje  wykres  funkcji  liniowej

K

—  wyznacza  wzór  funkcji  liniowej,  której  wykres  spełnia  dane  warunki

P

—  rozwiązuje  zadania  dotyczące  funkcji  liniowej  i  jej  zastosowań

R/D

—  z  wykresu  funkcji f uzyskuje  wykres  funkcji:

• f (x) + a

K

• f (x – a)

P

• f (x – a) + b

R

— z  wykresu  funkcji  f  uzyskuje  wykres  funkcji:

• af (x)

K

• f (ax)

P/R

• złożone  z  powyższych  typów

R/D

—  rysuje  wykres  funkcji  kwadratowej  postaci:

• y = ax 2 + q

K

• y = a (x – p 2)    + q

P

• y = ax 2 + bx + c (szkic  bez  wyznaczenia  współrzędnych  wierzchołka)

P

• y = ax 2 + bx + c

R

—  rozwiązuje  zadania  z  treścią  prowadzące  do  poszukiwania  ekstremum  funkcji  kwadratowej

R/D

—  szkicuje  wykres  dowolnej  funkcji  wykładniczej

K

—  wyjaśnia,  w  jaki  sposób  własności  funkcji  postaci y = ax zależą  od  liczby  a;  odczytuje  własności  funkcji  wykładniczej  z  jej  wykresu

P/R

—  oblicza  wartość  wielkości  opisanej  podaną  funkcją  wykładniczą

K

—  wykorzystuje  własności  funkcji wykładniczej  do  rozwiązywania  zadań  opisywanych  za  pomocą  takich  funkcji

P/R

— szkicuje  wykres  dowolnej  funkcji  logarytmicznej  i  odczytuje z  niego  jej  własności

K/P

— wyjaśnia,  w  jaki  sposób  własności  funkcji  y = log ax  zależą od  liczby  a

R

— wykorzystuje  logarytmy  w  badaniu  zjawisk  opisywanych  za pomocą  funkcji  wykładniczej

P/R

— rozumie  rolę  logarytmów  w  skalach  logarytmicznych  (pH,  dB)

D

—  rysuje  wykres  funkcji  homograficznej  postaci: y =  a/x  i  odczytuje  z  niego  własności  funkcji  i  zjawisk  opisanych  przez  tę  funkcję

K

CIĄGI  LICZBOWE

Uczeń:

—  rozumie  intuicyjnie  pojęcie  ciągu,  oblicza  dany  wyraz  ciągu

K

—  znajduje  regułę,  którą  można  opisać  ciąg,  którego  kolejne  wyrazy  zostały  podane  i  w  prostych  wypadkach  zapisuje  ją  wzorem

P/R

—  rozumie   intuicyjnie  pojęcie   ciągu   arytmetycznego   (geometrycznego),  podaje  i  rozpoznaje  przykłady

K

—  potrafi  utworzyć  kolejne  wyrazy  ciągu  arytmetycznego  (geometrycznego),  znając  pierwszy  wyraz  i  różnicę  (iloraz)

P

—  zna   wzór   ogólny   ciągu   arytmetycznego   (geometrycznego),  potrafi  znaleźć  wzór  takiego  ciągu,  mając  dane  jego  kolejne  wyrazy

R

—  znajduje   wzór   ciągu   arytmetycznego   (geometrycznego)   na  podstawie  podanych  informacji

D

—  korzystając  z  własności  ciągu  arytmetycznego  (geometrycznego),  bada  zjawiska  opisane  przez  taki  ciąg

R/D

—  oblicza  odsetki  lokat:

rocznych  według  podanego  oprocentowania

K

w  procencie  składanym

P

w  różnych  okresach  kapitalizacji

R

—  porównuje  oferty  banków  i  instytucji  finansowych

D

PLANIMETRIA

Uczeń:

—  zna  i  rozumie  pojęcia,  zna  własności  figur:

•  punkt,  prosta,  odcinek,  półprosta

K

•  równoległość,  prostopadłość

K

•  punkty  współliniowe,  symetralna  odcinka

P

•  kąty  przyległe,  wierzchołkowe,  naprzemianległe

R

•  trójkąt  równoboczny,  równoramienny

K

•  ostrokątny,  prostokątny,  rozwartokątny

K

•  kwadrat,  prostokąt,  równoległobok,  romb,  trapez

K

•  promień,  cięciwa,  średnica,  łuk

K

•  kąt  środkowy

K

•  kąt  wpisany

P

•  okrąg  opisany  na  wielokącie,  okrąg  wpisany  w  wielokąt

P

•  oś  symetrii,  środek  symetrii

K

•  figura  symetryczna  do  danej

K

—  wykonuje  konstrukcje:

•  prostej równoległej (prostopadłej)  do danej przechodzącej  przez  dany  punkt

R

•  symetralnej  odcinka

R

•  związane  z  trójkątami  (łatwe)

R/D

•  okręgu  wpisanego  w  dany  trójkąt

P

•  okręgu  opisanego  na  danym  trójkącie

P

•  średnicy  okręgu,  środka  okręgu,  stycznej  do  okręgu  przechodzącej  przez  dany  punkt

D

•  figury  symetrycznej  do  danej

P

—  zna  nierówność  trójkąta  i  wykorzystuje  ją  do  rozwiązywania  zadań

R/D

—  wie,  ile  wynosi  suma  kątów  trójkąta  i  czworokąta  i  wykorzystuje  ten  fakt  do  rozwiązywania  zadań

K/P

—  umie  udowodnić  te  fakty

D

—  oblicza  pola  i  obwody:

•  trójkąta  i  równoległoboku,  koła

K

•  trapezu,  rombu  o  danych  przekątnych

P

•  wycinka  koła

R

—  nazywa  wzajemne  położenie  okręgów  oraz  prostej  i  okręgu,  wykorzystuje  te  pojęcia  w  rozwiązywaniu  zadań

P/R/D

—  rozwiązuje  różne  zadania,  wykorzystując:

•  twierdzenie  Pitagorasa

R/D

•  twierdzenie  o  kącie  wpisanym  i  środkowym

R/D

•  pola  i  obwody  figur

R/D

• okręgi  wpisane  i  opisane  na  wielokątach

R/D

• warunek  wpisywalności  okręgu  w  czworokąt  i  opisywalności  okręgu  na  czworokącie

D

•  cechy  podobieństwa  trójkątów

D

• jednokładność

R/D

—  wykorzystuje  twierdzenie  Talesa  do  rozwiązywania  zadań:

•  prostych,  korzystających  z  jednej  proporcji

K

•  bardziej  skomplikowanych

P/R/D

—  rozumie  intuicyjnie  pojęcie  podobieństwa

K

—  oblicza  wymiary  figury  podobnej  do  danej  w  danej  skali

K

—  bada,  czy  dane  prostokąty  są  podobne

P

—  znajduje  skalę  podobieństwa  dwóch  figur  podobnych

P

—  zna   cechy   podobieństwa   trójkątów   i   sprawdza,   czy   dane  trójkąty  są  podobne

R

— umie  skonstruować  obraz  figury  w  jednokładności

P

— umie  stwierdzić,  czy  figury  są  jednokładne  i  wskazać  środek i  skalę  jednokładności

R

— potrafi  uzasadniać  proste  fakty  geometryczne,  np.  twierdzenie  o  sumie  kątów  trójkąta

K

— dowodzi  prostych  twierdzeń  geometrycznych

P/R

— rozumie  pojęcie  twierdzenia,  odróżnia  twierdzenie  proste  od odwrotnego

P/R

— prowadzi  bardziej  skomplikowane  dowody,  wykorzystując  np. porównywanie  kątów,  kąty  środkowe  i  wpisane,  porównywa- nie  pól,  cechy  przystawania  i  cechy  podobieństwa;  prowadzi proste  dowody  nie  wprost

D

— przesuwa  figurę  o  dany  wektor

K

— zna  i  rozumie  pojęcia:  wektor  zerowy,  wektory  przeciwne, wektory  równe

P

— dodaje  wektory  i  mnoży  je  przez  liczbę,  wykorzystuje  te umiejętności  do  rozwiązywania  zadań

R/D

— stosuje  twierdzenie  o  związkach  miarowych  między  odcinkami  stycznych  i  siecznych.

R/D

GEOMETRIA  ANALITYCZNA

Uczeń:

— zaznacza  w  układzie  współrzędnych  zbiór  punktów  spełniających  warunek  typu:

• x > 0        y £ 4

K

• y  < 2x + 3

P

• x + y ³ 5

R

• koniunkcja  lub  alternatywa  nierówności  liniowych

R

—  rysuje  prostą  o  danym  równaniu

P

—  wyznacza  równanie  prostej  spełniającej  dane  warunki

R/D

—  rozwiązuje  graficznie układ  dwóch  równań  liniowych z  dwiema  niewiadomymi

K

—  wyjaśnia  związek  pomiędzy  liczbą  rozwiązań  układu  dwóch  równań   liniowych   z   dwiema   niewiadomymi   a   wzajemnym  położeniem  prostych

P

— rozwiązuje  układy  dwóch  równań  liniowych  z  dwiema  niewiadomymi  z  parametrem

P/R

—  oblicza  odległość  między  punktami o  danych  współrzędnych

K

—  rozwiązuje  zadania  związane  z  odległością  punktów  w  układzie  współrzędnych

R/D

—  rysuje  okrąg  o  równaniu  danym  w  postaci:

• x 2 + y 2 = r 2

K

•  (x – a 2)    + (y – b 2)    = r 2

P

• x 2 + y 2 + 2ax + 2bx + c = 0

D

—  sprawdza  analitycznie  np.  czy  dany  punkt  leży  na  danym  okręgu

P

—  rozwiązuje  proste  zadania  dotyczące  równania  okręgu  jak  np.  znajdowanie  punktów  wspólnych  prostej  i  okręgu

R

— rozwiązuje  trudniejsze  zadania  dotyczące  równania  okręgu, także  z  parametrem

D

— znajduje  współrzędne  narysowanego  wektora

K

— rysuje  przykład  wektora  o  danych  współrzędnych

K

— przesuwa  figurę  o  dany  wektor

P

— znajduje  współrzędne  wektora  o  danym  początku  i  końcu

P

— określa  współrzędne  wektora  przeciwnego  do  danego

P

— oblicza  długość  wektora  o  danych  współrzędnych

P

— oblicza  współrzędne  sumy  wektorów  i  iloczynu  wektora  przez liczbę

R

— wykorzystuje  działania  na  wektorach  do  rozwiązywania zadań

R/D

TRYGONOMETRIA

FUNKCJE  KĄTA  OSTREGO

Uczeń:

—  znając  długości  boków  trójkąta  prostokątnego,  potrafi  obliczyć  funkcje  trygonometryczne  jego  kątów

K

—  wykonuje  proste  rachunki  z  zastosowaniem  funkcji  trygonometrycznych,  także  z  zastosowaniem  kalkulatora

P/R

—  stosuje  funkcje  trygonometryczne  kąta  ostrego  do:

•  prostych  zadań  geometrycznych

K

•  prostych  sytuacji  życia  codziennego

P

•  trudniejszych  zadań

R

—  samodzielnie  rozpoznaje  sytuacje,  w  których  może  zastosować  funkcje  trygonometryczne

D

—  korzysta  z  podanych  wartości  funkcji  kątów  30º  , 45º  , 60º  do  rozwiązywania  prostych  zadań

K

—  zna  wartości  funkcji  tych  kątów  i  wykorzystuje  je  do  rozwiązywania  zadań

P/R/D

—  zna  „jedynkę  trygonometryczną”  i  korzysta  z  niej  do  wyznaczenia  wartości  jednej  z  funkcji,  gdy  dana  jest  inna

P

FUNKCJE  DOWOLNEGO  KĄTA

— zamienia  na  miarę  łukową  i  z  miary  łukowej  na  stopnie:

• wielokrotności  kąta  prostego

K

•  30 0, 45 0, 600

P

• dowolne  kąty

R

— oblicza  wartości  funkcji  trygonometrycznych:

• za  pomocą  kalkulatora

K

• dla  wielokrotności  kąta  prostego

P

• sprowadzając  kąt  do  pierwszej  ćwiartki

R

— rozumie  związek  pomiędzy  współczynnikiem  kierunkowym funkcji  liniowej  a  kątem  nachylenia  jej  wykresu

R

— szkicuje  wykres  funkcji:

• sinus,  cosinus

K

• tangens,  cotangens

P

— odczytuje  własności  funkcji  trygonometrycznych  z  ich  wykresów

R

— podaje  przykłady  zjawisk,  w  których  opisie  występuje  sinusoida

R

— odczytuje  z  wykresu  informacje  na  temat  takich  zjawisk

P

— rozwiązuje  dla  kątów  z  przedziału [0; 2p] równania:

• postaci  sin  x  =  k  lub  cos  x  =  k

K

• dające  się  sprowadzić  (np.  za  pomocą  wzorów  redukcyjnych)  do  postaci  sinx = k  lub  cosx = k  lub  tgx = k  lub ctgx = k

P

• inne  proste  równania  trygonometryczne

R

— rozwiązuje  proste  nierówności  trygonometryczne

R

— za  pomocą  twierdzenia  sinusów  oblicza  długość  boku  lub miarę  kąta  w  trójkącie

K

— za  pomocą  twierdzenia  cosinusów  oblicza  długość  boku  trójkąta

K

— wykorzystuje  twierdzenie  sinusów  i  twierdzenie  cosinusów do  rozwiązywania  zadań

P/R/D

— umie  udowodnić  przynajmniej  jedno  spośród  twierdzeń: sinusów  i  cosinusów

D

STEREOMETRIA

Uczeń:

—  rozumie pojęcie równoległości i prostopadłości w przestrzeni

P

— zna  twierdzenie  o  trzech  prostych  prostopadłych

R

—  rozpoznaje  następujące  rodzaje  brył:

•  sześcian,  prostopadłościan,  graniastosłup,  ostrosłup

K

—  potrafi  określić  liczbę  wierzchołków,  krawędzi  i  ścian

K

—  oblicza  pola  powierzchni  i  objętości:

•  prostopadłościanów  i  ostrosłupów  o  podstawie  kwadratu

K

•  graniastosłupów  i  ostrosłupów  w  prostych  zadaniach geometrycznych

P

•  walca  i  stożka  w  najprostszych  sytuacjach  geometrycznych

K

•  kuli

P

—  rysuje  siatki  graniastosłupów  i  ostrosłupów,  odpowiada  na  proste  pytania  dotyczące  bryły  na  podstawie  jej  siatki  i  wykorzystuje  tę  umiejętność  do  rozwiązywania  zadań  dotyczących  sytuacji  rzeczywistych

R

—  stosuje   pojęcia:   graniastosłup   prosty,   graniastosłup   prawidłowy,  ostrosłup  prawidłowy

R

—  stosuje  pola  i  objętości  brył  do  rozwiązywania  zadań

R/D

—  rozwiązuje trudniejsze zadania dotyczące wielościanów i brył  obrotowych

D

—  wskazuje   w   graniastosłupie   prostym   kąty:   pomiędzy   krawędziami,  pomiędzy  krawędziami  a  przekątnymi,  pomiędzy  przekątnymi

K

—  wskazuje   w   ostrosłupie   kąty   pomiędzy   krawędziami   oraz  między  wysokością  a  krawędzią

P

—  wskazuje kąty: pomiędzy wysokością a ścianą boczną, pomiędzy  ścianą  boczną  a  podstawą,  pomiędzy  wysokością  ściany  bocznej  a  wysokością  bryły  itp.

R

—  rozwiązuje  zadania  dotyczące  graniastosłupów  i ostrosłupów  bez  wykorzystania  funkcji  trygonometrycznych

K

—  rozwiązuje  zadania  dotyczące  graniastosłupów  i ostrosłupów  polegające  na wykorzystaniu pojedynczej  funkcji trygonometrycznej

P

—  rozwiązuje  zadania  dotyczące  graniastosłupów  i ostrosłupów  oraz  brył  obrotowych  polegające  na  wykorzystaniu  funkcji  trygonometrycznych

R/D

— rozumie  pojęcie  przekroju,  szkicuje  przekroje  graniastosłupów  równoległe  i  prostopadłe  do  podstawy  i  rozwiązuje  proste  zadania  dotyczące  tych  przekrojów

K

— szkicuje  przekroje  ostrosłupów  i  rozwiązuje  zadania  dotyczące  tych  przekrojów,  także  z  wykorzystaniem  trygonometrii

P

— szkicuje  przekroje  brył  i  rozwiązuje  proste  zadania  dotyczące tych  przekrojów,  także  z  wykorzystaniem  trygonometrii

R/D

KOMBINATORYKA  I  PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Uczeń:

—  rozumie intuicyjnie pojęcie  prawdopodobieństwa  i jego związek  z  częstością

K

—  oblicza  wprost  z  definicji  prawdopodobieństwa  zdarzeń

•  najprostszych,  np.  otrzymanie  parzystej  liczby  oczek  w  rzucie  kostką

K

•  prostych,  przy  rzucie  dwiema  kostkami  lub  dwiema  monetami

P

•  sumy  zdarzeń  i  zdarzenia  przeciwnego

R

—  zna  pojęcia:  zdarzenie  pewne,  zdarzenie  niemożliwe,  zdarzenie  przeciwne

P

—  znajduje  liczbę  możliwych  wyników  przy  kilkukrotnym  rzucie  kostką  i w  innych wypadkach  o podobnej  skali  trudności,

P

—  oblicza   liczbę   możliwości   z   zasady   mnożenia   w   bardziej  skomplikowanych  wypadkach  i  wykorzystuje  wyniki  do  obliczania  prawdopodobieństwa

R/D

— oblicza  liczbę  możliwych  ustawień  n  różnych  elementów,  stosuje  tę  umiejętność  do  obliczania  prawdopodobieństwa;  zna symbol  n!

K

— rozwiązuje  zadania  z  obliczeniami  liczby  permutacji  z  zastosowaniem  ich  do  obliczania  prawdopodobieństwa

P/R

— oblicza  liczbę  wariacji  z  powtórzeniami  i  bez,  stosuje  tę umiejętność  do  obliczania  prawdopodobieństwa

P

— rozwiązuje  proste  zadania  z  obliczaniem  liczby  wariacji (z  powtórzeniami  i  bez)  i  zastosowaniem  ich  do  obliczania prawdopodobieństwa

P/R

— oblicza  w  prostych  wypadkach  liczbę  kombinacji  i  stosuje  tę umiejętność  do  obliczania  prawdopodobieństwa  w  prostych przypadkach

P

— rozwiązuje  trudniejsze  zadania  z  obliczaniem  liczby  kombinacji  i  zastosowaniem  ich  do  obliczania  prawdopodobieństwa,  w  szczególności  zadania  dotyczące  gier  typu  toto-lotka

R/D

— rozwiązuje  zadania  wymagające  jednoczesnego  korzystania z  permutacji,  wariacji  i  kombinacji  i  stosowania  ich  do obliczania  prawdopodobieństwa

D

STATYSTYKA  OPISOWA

Uczeń:

—  odczytuje  informacje  z  tabel,  diagramów  słupkowych  i  kołowych

K/P

—  wyciąga  z  takich  informacji wnioski, wykonując  odpowiednie  obliczenia

R/D

—  oblicza:

•  średnią  arytmetyczną  danych  liczb

K

•  odchylenie  standardowe  danych  liczb

K

•  modę  i  medianę  danych  liczb

P

•  średnią  arytmetyczną  danych  zapisanych  w  postaci  tabeli  lub  histogramu

P

•  średnią  ważoną  danych  liczb

R

—  rozumie  sens  intuicyjny  odchylenia  standardowego

K

—  wyciąga  wnioski  z informacji w  postaci  średnich i odchylenia  standardowego

P/R/D

—  rozumie  różnice  pomiędzy  różnymi  rodzajami  średnich  i  ograniczenia  w  ich  stosowaniu

D

—  przedstawia  dane  w  postaci  tabel  i  diagramów

K/P

—  opracowuje  statystycznie  nieskomplikowany  problem

R

—  stawia  prosty  problem  i  opracowuje  go  statystycznie

D

Uczeń:

KLASA  I

Liczby rzeczywiste

—  wykazuje  się  starannością  w  działaniach  na  liczbach;  rozumie,  że  nawet  drobny  błąd  może  prowadzić  do  całkowicie nieprawidłowego  wyniku

—  rozumie  i  docenia  praktyczne  znaczenie  wiadomości

—  na  przykładzie  klasyfikacji  liczb  poznaje  znaczenie  wprowadzania  porządku  i  systematyczności  w  wiadomościach

Algebra

—  wykazuje  się  starannością  w  obliczeniach  algebraicznych

—  z  zaangażowaniem  rozwiązuje  różnorodne  problemy  za  pomocą   narzędzi   algebry,   wykazując   przy   tym   dociekliwość  poznawczą

Funkcje

—  wykazuje  się  dokładnością  w  rysowaniu  i  odczytywaniu  wykresów

—  rozumie,   jak   ważne   jest   staranne   wykonanie   wykresu   dla  jego  poprawnej  interpretacji

—  z  zaangażowaniem  rozwiązuje  różnorakie  zagadnienia,  wykorzystując  wiadomości  na  temat  funkcji

—  docenia  znaczenie  matematyki  w  rozwiązywaniu  problemów  optymalizacyjnych,  przez  co  uczy  się  szacunku  dla  wiedzy

Planimetria  i  trygonometria

—  wykazuje  się  starannością  przy  wykonywaniu  i  przekształcaniu  rysunków

—  pamięta  o  przynoszeniu  na  lekcje  odpowiednich  przyrządów  kreślarskich  i  kalkulatora

—  dba   o   ład   na   stanowisku   pracy   (zwłaszcza   podczas   lekcji  wymagających  używania  znacznej  liczby  przyrządów)

—  dzięki  rozwiązywaniu  zadań  uczy  się  samodzielności  intelektualnej  i  dociekliwości

—  rozwiązując  (w  miarę możliwości)  proste, ale  niestandardowe  problemy,  uczy  się  podejmować  wysiłek  intelektualny  i  nie  rezygnować  mimo  początkowych  trudności

KLASA  II

Wielomiany

—  wykazuje  staranność,  dokładność  i  cierpliwość  przy  złożonych  obliczeniach

Ciągi

—  wykazuje  staranność  w  rozwiązywaniu  zadań

—  poznając  zasady  lokat  i  kredytów  bankowych,  kształci  oszczędność  i  umiejętność  gospodarowania  pieniędzmi

Funkcja  wykładnicza  i  logarytmy

—  wykazuje  staranność  przy  sporządzaniu  wykresów

—  rozumie  zagrożenia  związane  ze  zjawiskami  o  wzroście  wykładniczym   (np.   inflacja,   rozwój   bakterii,   reakcja   jądrowa) i  docenia  wysiłki  na  rzecz  przeciwdziałania  im

—  zawsze  nosi  na  lekcje  kalkulator  i  przybory  kreślarskie

Planimetria   i   trygonometria

jak  w  klasie  I

Statystyka opisowa

—  wykazuje  się  starannością,  sumiennością  i  rzetelnością  przy  opracowywaniu  danych  statystycznych

—  rzetelnie  przygotowuje  i  prowadzi  proste  badania  ankietowe

—  jest  uprzejmy  podczas  ankietowania  respondentów

—  zachowuje  tajemnicę  przy  anonimowych  ankietach

—  rozumie   zagrożenia   związane   z   nierzetelnym   prezentowaniem  danych  statystycznych  i  stara  się  przeciwdziałać  tym  zagrożeniom

KLASA  III

Powtórzenie

—  wykazuje  się  starannością  i  sumiennością  podczas  powtarzania  wiadomości  z  lat  ubiegłych

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

—  wykazuje  się  starannością  podczas  obliczeń

—  docenia  umiejętność  wykorzystania  rachunku  prawdopodobieństwa  w  różnych  sytuacjach

—  z  zaangażowaniem  rozwiązuje  zadania

Funkcje  wymierne

—  starannie  rysuje  wykresy

—  wykazuje  się  dokładnością  w  obliczeniach

Stereometria

—  wykazuje  się  szczególną  starannością  w  wykonywaniu  rysunków  brył  trójwymiarowych

—  zawsze  nosi  na  lekcję  przybory  kreślarskie

—  docenia  praktyczne  zastosowania  zdobytej  wiedzy

Dział

Przybliżona  liczba  godzin

Zakres podstawowy

Zakres rozszerzony (dodatkowo)

KLASA  I

Liczby  rzeczywiste

20

5

Algebra

20

5

Funkcje

25

5

Planimetria  i  trygonometria

25

10

KLASA  II

Wielomiany

5

10

Funkcja  wykładnicza  i  logarytmiczna

15

5

Funkcje  trygonometryczne

15

15

Ciągi  liczbowe

15

5

Planimetria

10

10

Geometria  analityczna

15

10

Statystyka  opisowa

10

0

KLASA  III

Powtórzenie

10

0

Kombinatoryka  i  prawdopodobieństwo

10

15

Funkcje  wymierne

15

5

Stereometria

15

5